Ключевые слова: правый желудочек, геометрия, математическая модель, объем правогожелудочка

Изучение геометрии правого желудочка (ПЖ) и особенностей его ремоделирования при ряде заболеваний (пороки сердца, тромбоэмболия легочной артерии и ее осложнения, кардиомиопатии и др.) представляет большой научный и практический интерес. В литературе есть немногочисленные работы, касающиеся данного вопроса [2–4]. В отличие от левого желудочка (ЛЖ), имеющего форму эллипса, стереометрической моделью ПЖ служит пирамида с треугольным основанием, поэтому применять для расчета его параметров методы вычисления размеров ЛЖ неправомерно [5].

Цель исследования – разработать математичскую модель правого желудочка, которая бы наиболее точно отражала его геометрию и объемные показатели.

Материал и методы

Для изучения формы ПЖ и проведения его морфометрии использовали метод заливок: извлеченное во время патологоанатомического вскрытия сердце подвешивали на зажиме, мощной струей воды промывали все полости сердца для удаления сгустков крови, затем через устье нижней полой вены в правые предсердие и желудочек и, соответственно, через устье одной из легочных вен в левые предсердие и желудочек заливали предварительно подготовленную стоматологическую самотвердеющую пластмассу “Протакрил М”. Заливку продолжали до того момента, пока уровень жидкой пластмассы не достигал полулунных клапанов аорты и легочного ствола, при этом желудочки оказывались заполненными полностью, а также частично были заполнены предсердия. Далее сердце оставляли в подвешенном состоянии до полного отвердения пластмассы, после чего ткани сердца срезали, насколько это было возможно, полученные слепки помещали в концентрированную соляную кислоту, где происходило растворение остатков ткани, слепки промывали водой и от них отпиливали фрагменты, расположенные выше атриовентрикулярных фиброзных колец и выше уровня полулунных клапанов. Были изготовлены модели 11 “здоровых” ПЖ (при вскрытии не было обнаружено патологии со стороны сердца).

Модель “здорового” ПЖ представлена на рис. 1.

Рис. 1. А – Слепок правого желудочка в боковой проекции со стороны выходного отдела; Б – фронтальная проекция правого желудочка.

Для вычисления объемов полученных экспериментальных моделей ПЖ использовали метод Архимеда – измеряли объем вытесненной жидкости при погружении модели в емкость с водой.

Результаты и их обсуждение

Была предпринята попытка сравнить экспериментальную модель ПЖ с одной из математических моделей (эллиптической и параболической), объемы которых можно рассчитать с помощью стандартных формул аналитической геометрии [1]. В результате была выбрана эллиптическая модель.

Эллиптическая модель правого желудочка

Рассмотрим 2 эллипсоида (рис. 2А) c одинаковыми вертикальными диаметрами (h) вдоль оси Z и одной парой горизонтальных диаметров (a и b) вдоль оси Y. Если а<b, то второй эллипсоид будет лежать внутри первого. Рассмотрим тело, ограниченное этими двумя эллипсоидами, и выделим из него одну восьмую часть. Полученное тело Т изображено на рис. 2A в виде заштрихованного сегмента.

Рис. 2. Эллиптическая модель правого желудочка.

На рис. 2 изображена верхняя горизонтальная грань тела Т, лежащая в плоскости xy (вид сверху).

На рис. 2Б изображена боковая плоская грань тела Т, лежащая в плоскости XZ. Граничные кривые – это либо отрезки, либо четверти эллипсов.

Предположим, тело Т будем рассматривать в качестве приближенной геометрической модели ПЖ.

Объем тела внутри первого эллипсоида равен

V1=bch,

где с – длинная ось.

Объем тела внутри второго эллипсоида равен

V2= ach.

Таким образом, для объема тела Т, равного V=(V1-V2)/8, получаем следующую формулу:

V=(bch -ach)=p (b-a) ch. (1)

Если b-a = 2,8 см, с = 6,9 см, h = 7,4 см, то V = 74,8 см3.

Модификация эллиптической модели

Чтобы предложенная выше модель лучше соответствовала реальной форме ПЖ, сделаем усечение плоскостью.

Проведем плоскость hy-cz-hc = 0, параллельную оси X.

Рассмотрим ту часть тела Т, которая лежит выше этой плоскости. Это тело Тґ (рис. 3).

Рис. 3. Усеченная эллиптическая модель (Tґ).

Если рассматривать его проекцию на плоскость YZ, получим прямоугольный треугольник, катеты которого равны соответственно с и h. Вычисляя объем тела Тґ с помощью стандартных методов символьного и численного интегрирования, получаем в итоге следующую формулу:

V (Tґ) = 0,4 (b-a) ch. (2)

Полученная ранее формула (1) для объема эллиптической модели и формула (2) отличаютсятолько множителем: в формуле (1) стоит p/6»0,52, в формуле (2) – 0,4. Таким образом, получаем: V(Tґ)/V(T) = 0,77, то есть объем модифицированной эллиптической модели составляет 77 % от объема первоначальной (простой) модели.

Если взять среднее арифметическое объемов двух рассмотренных эллиптических моделей, то из (1) и (2) получаем еще одну формулу, которую можно использовать для вычисления объема правого желудочка:

V = (V(T)+V(Tґ))=0,46 (b-a)ch. (3)

С целью определения оптимальной математической модели для измерения объема ПЖ в качестве переменных были взяты реальные параметры экспериментальных моделей (рис. 4).

Рис. 4. На снимке схематически обозначены основные размеры правого желудочка, которые были взяты в качестве исходных переменных: d1(b-а) – переднезадний размер правого желудочка на уровне кольца трикуспидального клапана; d2(c) – сумма диаметров приточного (на уровне кольца трикуспидального клапана) и выходного отделов правого желудочка (на уровне клапанного кольца легочной артерии); d3(h) – длинная ось правого желудочка.

В таблице приведены данные морфометрии экспериментальных моделей ПЖ, а также представлены показатели объемов ПЖ, полученные в результате математических вычислений и опытным путем.

Таблица Сравнительный анализ размеров правого желудочка, полученных в результате математических вычислений и опытным путем

Не выявлено достоверной разницы между значениями объемов ПЖ, рассчитанными с использованием эллиптической модели и полученными эмпирическим путем. Различия в показателях были еще меньшими при вычислении индексированных значений указанных параметров. Несмотря на то, что модифицированная модель эллипсоида больше походит на геометрическую форму ПЖ, величины ее объемов достоверно отличались от экспериментальных. По-видимому, простая эллиптическая модель в определенной мере позволяет учитывать поперечное расширение ПЖ и, таким образом, является оптимальной для измерений его объемных показателей.

Выводы

1. В качестве математической модели правого желудочка можно использовать эллиптическую модель, в которой его форма соостветствует 1/8 части пространства, ограниченного двумя эллипсоидами с большим и меньшим горизонтальными и одинаковыми вертикальными диаметрами.
2. В качестве исходных переменных для расчета объема математической модели правого желудочка необходимо использовать его переднезадний размер на уровне кольца трикуспидального клапана, сумму диаметров приточного и выходного отделов, а также его длинную ось.
3. Точность измерений можно повысить, если вычислять не абсолютные, а индексированные объемные показатели, поскольку размеры полостей сердца достаточно широко варьируют в зависимости от различной площади поверхности тела.

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Госиздат. физ.-мат. лит-ры, 1962. – 870 с.
2. Коваленко В.Н. Методические подходы к созданию прикладных морфо-функциональных моделей желудочков сердца // Укр. кардіол. журн. – 2001. – № 5. – C. 73-78.
3. Gibson T., Miller S., Aretz T. et al. Method for estimation right ventricular volume by planes applicable to cross-sectional echocardiography. Correlation with angiographic formulas // Amer. J. Cardiology. – 1985. – № 55. – P. 1584.
4. Lawrence M.B. Radiology of the right ventricle // Radiol. Clin. North Am. – 1999. – Vol. 37, № 2. – P. 36-48.
5. Markiewicz W., Sechtem U., Higgins Ch.B. Evaluation of the right ventricle by magnetic resonance imaging // Amer. Heart J. – 1987. – Vol. 113, № 1. – P. 8-15.

Possibilities of use of mathematical methods for estimation of form and sizes of right ventricle

E.O. Krakhmalova

In this article we checked mathematical model of right ventricle based on simple elliptical geometrical model where segment, limited by two ellipsoids with different horizontal and identical size vertical diameters, corresponds to the form of the right ventricle. For the calculation of a right ventricle volume as the initial variables they used anteroposterior size of inflow tract on the level of tricuspid valve ring, sum of diameters of the RV inflow and outflow tracts, as well as long axis of RV. There was no reliable difference between volumetrical indices of RV calculated by mathematical method and by the RV experimental models volume, obtained by the method of giving a wash of synthetic material and calculated method of sinking them into capacity with water (the Archimedes method).